Question

如圖△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠GCA的平分線于點(diǎn)F．
（1）說(shuō)明 EO=FO．
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，四邊形AECF是矩形？說(shuō)明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，AC與BC具有怎樣的關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過(guò)等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，根據(jù)矩形的判定定理（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形），結(jié)合（1）所推出的結(jié)論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；
（3）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥BC時(shí)，四邊形AECF是正方形，根據(jù)（2）所推出的結(jié)論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結(jié)論．

解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，
∵CE，CF分別為∠BCA，∠GCA的角平分線，
∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，
∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，
∴OC=OE，OC=OF，
∴OE=OF，

（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，
理由：∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形，

（3）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥BC時(shí)，四邊形AECF是正方形，
理由：∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵OE=OF，OC=OE=OF，
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF，
∵AC⊥BC，MN∥BC，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的判定定理，正方形的判定定理，角平分線和平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于結(jié)合相關(guān)的性質(zhì)定理通過(guò)等量代換推出OE=OC=OF；根據(jù)矩形的判定定理確定O點(diǎn)的位置；根據(jù)正方形的判定定理確定O點(diǎn)的位置，AC和BC的位置關(guān)系．