Question

如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=mx+n的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，且滿足m²+n²+2m-8n+17=0．P為線段AB上的一個動點．PO⊥CO，PO=CO．
（1）判斷△ABO的形狀；
（2）求四邊形PBCO的面積；
（3）設C（a，b），寫出a，b滿足的關系式．

Answer 1

解：（1）∵m²+n²+2m-8n+17=（m+1）²+（n-4）²=0，

∴m=-1，n=4，

∴y=-x+4，

∴A（4，0），B（0，4），即OA=OB=4，

∵∠AOB=90°，

∴△ABO為等腰直角三角形；


（2）∵∠BOC+∠BOP=90°，∠BOP+∠AOP=90°，

∴∠BOC=∠AOP，

在△AOP和△BOC中，

，

∴△AOP≌△BOC（SAS），

∴S_{四邊形PBCO}=S_△BOC+S_△BOP=S_△AOP+S_△BOP=S_△AOB=×4×4=8；


（3）如圖，分別過C、P兩點作x軸的垂線，垂足為D、E，

∵∠COD+∠POE=90°，∠COD+∠OCD=90°，
∴∠POE=∠OCD，
在△CDO和△OEP中，

，

∴△CDO≌△OEP（AAS），

∴OE=CD=b，PE=OD=-a，

∴P（b，-a），

∴-a=-b+4，即b=a+4．
分析：（1）已知等式配方后利用非負數(shù)的性質求出m與n的值，確定出一次函數(shù)解析式，進而求出A與B的坐標，得到OA=OB，再由AO與BO垂直，即可確定出三角形ABO為等腰直角三角形；
（2）由OP與OC垂直，OA與OB垂直，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由OC=OP，OB=OA，利用SAS得到三角形BOC與三角形AOP全等，得到兩三角形面積相等，四邊形PBCO的面積=三角形BOC面積+三角形BOP面積，等量代換得到四邊形PBCO面積=三角形AOB面積，求出即可；
（3）如圖，分別過C、P兩點作x軸的垂線，垂足為D、E，由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及OC=OP，利用AAS得到三角形CDO與三角形OEP全等，由全等三角形的對應邊相等得到OE=CD=b，PE=OD=-a，表示出P的坐標，代入直線y=-x+4，即可得到a與b的關系式．
點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，全等三角形的判定與性質，配方法的應用，非負數(shù)的性質，以及等腰直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．