Question

在圖1-3中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE=2b，且邊AD和AE在同一直線上．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：
①當(dāng)2b＜a時，如圖1，在BA上選取點(diǎn)G，使BG=b，連接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，小明發(fā)現(xiàn)：如果先將△FAG繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．請說明理由；
②對于拼接成的新四邊形FGCH，小明通過度量發(fā)現(xiàn)其恰是正方形．請說明理由．
（2）實(shí)踐探究：
小明進(jìn)一步探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)2b＜a、2b=a、a＜2b＜2a、b=a時（即b≤a時），此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移．請你類比圖1的剪拼方法，在圖2（a＜2b＜2a）中畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．
（3）聯(lián)想拓展：
當(dāng)b＞a時，如圖3的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能，簡要說明理由．

Answer 1

解：①∵△FAG繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△FEH的位置，
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置
②作FM⊥AD于點(diǎn)M
∵△FAE為等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG
∴四邊形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四邊形FGCH是正方形．

（2）、（3）剪拼方法如圖2、3（每圖．注：圖3用其它剪拼方法能拼接成面積為a²+b²的正方形均給分．


分析：（1）①兩個三角形中都有一個直角，都使用了正方形的邊長，由旋轉(zhuǎn)可得EH=AG=a-b，根據(jù)題中所給的條件可得DH=BG，那么所求的兩個三角形全等，△CGB恰可以拼接到△CHD的位置；
②由前面的全等可得到CG=CH，F(xiàn)H=FG，那么應(yīng)證明FH和CH所在的三角形全等，得到所求的四邊形的菱形，進(jìn)而根據(jù)全等中的對應(yīng)角相等和原來正方形的直角得到新四邊形的一個角是直角得證．
（2）（3）應(yīng)采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化，BG永遠(yuǎn)等于等腰直角三角形斜邊的一半．
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的推理論證能力和動手操作能力；運(yùn)用類比方法作圖時，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長度與某條線段的比值，旋轉(zhuǎn)的三角形，連接的點(diǎn)都應(yīng)是相同的．