Question

已知拋物線y=a（x-1）²-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
（1）求a的值；
（2）若以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于D，直線y=kx+b與該圓相切于D，求直線的解析式；
（3）設(shè)E為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F使得以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-1）²-2即可求得a的值；
（2）先根據(jù)圓的方程求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再將D（0，

3

）點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b，即可求得直線的解析式；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和E點(diǎn)坐標(biāo)的位置，便可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將B（3，0）點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-1）²-2得：
0=a（3-1）²-2，
解得a=

1

2

；

（2）拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），
拋物線y=

1

2

（x-1）²-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則A坐標(biāo)為（-1，0），
AB=4，以AB為直徑的圓的半徑為2，
⊙E的方程為（x-1）²+y²=4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

），直線DE的斜率為k=-

3

，
∵直線y=kx+b與該圓相切于D，
故直線l的斜率為

3

3

，
將D（0，

3

）點(diǎn)坐標(biāo)代入y=

3

3

x+b，
解得b=

3

，
∴直線的解析式為y=

3

3

x+

3

；

（3）存在，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），
要想使四邊形ABEF為平行四邊形，E、F兩點(diǎn)必須關(guān)于AB對(duì)稱，
又∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，故點(diǎn)F也應(yīng)該在對(duì)稱軸上，
又∵點(diǎn)F在拋物線上，
故點(diǎn)F應(yīng)該在拋物線的頂點(diǎn)C的位置時(shí)四邊形ABEF為平行四邊形，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，-2）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和直線與圓相切及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．