【題目】問題探究:

1)已知:如圖①,△ABC中請你用尺規(guī)在BC邊上找一點D,使得點A到點BC的距離最短.

2)托勒密(Ptolemy)定理指出,圓的內(nèi)接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.如圖②,P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點(不與B、C重合),請你根據(jù)托勒密(Ptolemy)定理證明:PA=PB+PC

問題解決:

3)如圖③,某學(xué)校有一塊兩直角邊長分別為30m、60m的直角三角形的草坪,現(xiàn)準備在草坪內(nèi)放置一對石凳及垃圾箱在點P處,使PAB、C三點的距離之和最小,那么是否存在符合條件的點P?若存在,請作出點P的位置,并求出這個最短距離(結(jié)果保留根號);若不存在,請說明理由.

【答案】1)過點ABC邊的垂線,垂足為D,點D即為所求,見解析;(2)證明見解析;(3)點PA、BC三點距離之和的最小值約是m

【解析】

1)過點AADBCD,點D即為所求.

2)由托勒密定理得:PABC=BPAC+CPAB.再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC,代入即可得到結(jié)論.

3)如圖③,以BC為邊向外作正ΔBCD,再作它的外接圓,連接AD,與外接圓交于點P,點P就是所要求作的位置.由托勒密定理得到PD=BP+PC,而三點A、P、D共線,因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短.過點DDEAC,交其延長線于點E.由含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出結(jié)論.

1)過點ABC邊的垂線,垂足為D,點D即為所求,如圖①.

2)如圖②,由托勒密定理得:PABC=BPAC+CPAB

又∵ΔABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∴APBC=BP+CPBC

AP=BP+PC

3)如圖③,以BC為邊向外作正ΔBCD,再作它的外接圓,連接AD,與外接圓交于點P,點P就是所要求作的位置.

由托勒密定理得:PD=BP+PC,而三點AP、D共線,因此點P到三個頂點的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短.

過點DDEAC,交其延長線于點E

BC=CD=30,∠DCE=30°,∴DE=15,CE=

RtΔADE中,由勾股定理得:

=,則點PAB、C三點距離之和的最小值約是m

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請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決這個問題.

(1)求證:四邊形是矩形;

(2)的夾角為________度時,四邊形是正方形.

理由:

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