Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的對(duì)角線，．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)把矩形沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕分別與、、相交于點(diǎn)、、，求直線的解析式；

(3)若點(diǎn)在直線上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在符合條件的點(diǎn)共有4個(gè)，分別為

【解析】

（1）利用三角函數(shù)求得OA以及OC的長度，則B的坐標(biāo)即可得到；

（2）分別求出D點(diǎn)和E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得DE的解析式；

（3）分當(dāng)FM是菱形的邊和當(dāng)OF是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得N的坐標(biāo)．

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，

∴設(shè)OA=x，則OC=3x，

根據(jù)勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，

即9x2+3x2=576，

解得：x=4．

則C的坐標(biāo)是：（12，0），B的坐標(biāo)是（）；

（2）由折疊可知 ，

∵四邊形是矩形，

∴∥，

∴，

∴=，

∴

設(shè)直線的解析式為，則，

解得 ；

∴.

（3）∵OF為Rt△AOC斜邊上的中線，

∴OF=AC=12，

∵ ，

∴tan∠EDC=

∴DE與x軸夾角是60°，

當(dāng)FM是菱形的邊時(shí)（如圖1），ON∥FM，

∴∠NOC=60°或120°．

當(dāng)∠NOC=60°時(shí)，過N作NG⊥y軸，

∴NG=ONsin30°=12×=6，OG=ONcos30°=12×=6，

此時(shí)N的坐標(biāo)是（6，6）；

當(dāng)∠NOC=120°時(shí)，與當(dāng)∠NOC=60°時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則坐標(biāo)是（-6，-6）；

當(dāng)OF是對(duì)角線時(shí)（如圖2），MN關(guān)于OF對(duì)稱，

∵F的坐標(biāo)是（6，6），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=6，ON=．

作NL⊥y軸于點(diǎn)L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，

∴NL=ON=，OL=ONcos30°=×=6．

此時(shí)N的坐標(biāo)是（/span>，6）．

當(dāng)DE與y軸的交點(diǎn)時(shí)M，這個(gè)時(shí)候N在第四象限，

此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（6，-6）．

則N的坐標(biāo)是：（6，-6）或（6，6）或（-6，-6）或（2，6）．