Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正確結(jié)論有(       )個(gè)．

A．5                   B．4              C．3                D．2

Answer 1

B.

試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴①說(shuō)法正確；
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°
∴∠AFD=75°
∴∠DAF=15°
∴②正確；
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴∠BCA=45°
∴AC⊥EF
又CE=CF
∴AC垂直平分EF，
∴③正確；
在AD上取一點(diǎn)G，連接FG，使AG=GF，

則∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
設(shè)DF=1，則AG=GF=2，DG=，
∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，
∴EF=CF=+，而B(niǎo)E+DF=2，
∴④說(shuō)法錯(cuò)誤；
∵S_△ABE+S_△ADF=2S_△ABE =2×AD×DF=2+，
S_△CEF=CE×CF=，
∴⑤正確
故選B.
考點(diǎn): 1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等邊三角形的性質(zhì)．