Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）分別求AB，OE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB是直徑即可求得∠ADB，再根據(jù)題意可求出OD⊥DE，即得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

解答：（1）證明：連接BD，OD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．（4分）

（2）解：在Rt△CBD中CD=

3

，∠ACB=30°，
∴BC=

CD

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD=

3

，∠ACB=30°，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

×

3

=

3

2

．
在Rt△ODE中，OE=

OD2+DE2

=

7

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及解直角三角形，是一道綜合題，難度不大．