【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸,交直線y=2x于點(diǎn)C.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),判定點(diǎn)A′是否在拋物線上,并說明理由;
(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線,交線段CA′于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1).(2)點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(﹣3,4).點(diǎn)A/在該拋物線上.(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí),四邊形PACM是平行四邊形.
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)首先求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),然后代入拋物線解析式,即可判定點(diǎn)A′是否在拋物線上.本問關(guān)鍵在于求出A′的坐標(biāo).如答圖所示,作輔助線,構(gòu)造一對(duì)相似三角形Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC,利用相似關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理,求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo);
(3)本問為存在型問題.解題要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義,列出代數(shù)關(guān)系式求解.如答圖所示,平行四邊形的對(duì)邊平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長(zhǎng)度,然后列方程求解.
試題解析:(1)∵與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點(diǎn),
∴,
解得
∴拋物線的解析式為.
(2) 過點(diǎn)作⊥x軸于E,AA/與OC交于點(diǎn)D,
∵點(diǎn)C在直線y=2x上,
∴C(5,10)
∵點(diǎn)A和關(guān)于直線y=2x對(duì)稱,∴OC⊥,=AD.
∵OA=5,AC=10,∴.
∵,
∴.
∴.
在和中,
∵∠+∠=90°,∠ACD+∠=90°,
∴∠=∠ACD.
又∵∠=∠OAC=90°,
∴∽.
∴即.
∴=4,AE=8.
∴OE=AE-OA=3.
∴點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(﹣3,4).
當(dāng)x=﹣3時(shí), .
所以,點(diǎn)A/在該拋物線上.
(3)存在.
理由:設(shè)直線的解析式為y=kx+b,
則,
解得
∴直線的解析式為.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)M為.
∵PM∥AC,
∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方,
∴.
解得(不合題意,舍去)當(dāng)x=2時(shí),.
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí),四邊形PACM是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律并完成各題的解答.
(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是 , 它是自然數(shù)的平方,第8行共有個(gè)數(shù);
(2)用含n的代數(shù)式表示:第n行的第一個(gè)數(shù)是 , 最后一個(gè)數(shù)是 , 第n行共有個(gè)數(shù);
(3)求第n行各數(shù)之和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=8cm,cos∠ABC=,點(diǎn)D在邊AC上,且CD=cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).解答下列問題:
(1)M、N分別是DP、BP的中點(diǎn),連接MN.
①分別求BC、MN的值;
②求在點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中線段MN所掃過區(qū)域的面積;
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使BD平分∠CDP?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從A地到B地的公路需經(jīng)過C地,圖中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°. 因城市規(guī)劃的需要,將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.
(1)求改直后的公路AB的長(zhǎng);
(2)問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米?(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校初三年級(jí)開展研究性學(xué)習(xí),準(zhǔn)備購(gòu)買一定數(shù)量的兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌,如果購(gòu)買3張兩人學(xué)習(xí)桌,1張三人學(xué)習(xí)桌需220元;如果購(gòu)買2張兩人學(xué)習(xí)桌,3張三人學(xué)習(xí)桌需310元.
(1)求兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià);
(2)學(xué)校欲投入資金不超過6000元,購(gòu)買兩種學(xué)習(xí)桌共98張,以至少滿足248名學(xué)生的需求,設(shè)購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌x張,購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元,求出W與x的函數(shù)關(guān)系式;求出所有的購(gòu)買方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,根據(jù)圖形填空.
(1)∠A和是同位角;
(2)∠B和是內(nèi)錯(cuò)角;
(3)∠A和是同旁內(nèi)角.
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