Question

在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的位置如圖所示．已知∠AOB=90°，AO=BO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，1）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）求過(guò)A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸?的對(duì)稱點(diǎn)為B_l，連接AB₁，求tan∠AB₁B的值．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，構(gòu)造直角，在直角三角形中解題，證三角形全等，從而求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求解析式已知兩定點(diǎn)，用待定系數(shù)求出解析式；
（3）寫出對(duì)稱軸方程，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求出對(duì)稱點(diǎn)，從而可求tan∠AB₁B的值．

解答：解：（1）作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D，（2分）
則∠ACO=∠ODB=90°．
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∴∠OAC=∠BOD．
又∵AO=BO，
∴△ACO≌△ODB．（5分）
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）．（7分）

（2）拋物線過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx．
將A（-3，1），B（1，3）代入，
得

9a-3b=1 a+b=3

，
解得a=

5

6

，b=

13

6

故所求拋物線的解析式為y=

5

6

x²+

13

6

x．（10分）

（3）拋物線y=

5

6

x²+

13

6

x的對(duì)稱軸l的方程是x=-

b

2a

=-

13

10

．
點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)為B₁（-

18

5

，3）．（12分）
在△AB₁B中，作AC₁⊥BB_l于C₁，
則C₁（-3，3），B_lC₁=

3

5

，AC₁=2．
∴tan∠AB₁B=

10

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查直角三角形的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，還有點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，知識(shí)點(diǎn)多，但不難．