Question

學校生物園有一塊空地是銳角△ABC的形狀（如圖甲），面積為100平方米，BC=a米，AB=c米，且a＞c．現在準備將這塊空地擴建成矩形草坪，四周用柵欄圍起來．現在有圖乙、圖丙兩種方案．

在圖甲中，由S=

1

2

ah=100可得ah=200，∵c＞h，∴ac＞200．
（1）在圖乙中，矩形BCED的面積為

200

平方米，用矩形面積公式可以求出邊BD的長為

200

a

米．
（2）在圖丙中，矩形ABNM的面積為

200

平方米，邊BN的長為

200

c

米．
（3）在圖乙、圖丙兩種方案中，哪種方案矩形的周長較大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由矩形DECB的長為BC，寬為BD=h，得到矩形的面積為ah，求出矩形的面積即可，再由矩形的面積除以a，即可得到BD的長；
（2）由三角形ABP與三角形BCN相似，根據相似得比例表示出BN，由BN與BD的乘積求出矩形ABNM的面積，由面積除以AB=c即可得到BN的長；
（3）表示出圖乙與圖丙矩形的周長，相減后判斷差大于0，可得出圖乙中矩形周長較大．

解答：解：（1）圖乙中矩形的長為a，寬為h，
則矩形BCED的面積為ah=200平方米，BD=h=

200

a

；
（2）圖丙中，∵∠ABP+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBN=90°，
∴∠ABP=∠CBN，又∠P=∠N=90°，
∴

AB

BC

=

PB

BN

，即

c

a

=

h

BN

，
∴BN=

ah

c

，
則S_矩形ABNM=AB•BN=c•

ah

c

=ah=200，BN=

200

c

；
故答案為：（1）200；

200

a

；（2）200；

200

c

；

（3）圖乙中矩形周長較大，理由為：
圖乙中矩形的周長為2（BC+BD）=2a+

400

a

，圖丙中矩形的周長為2（AB+BN）=2c+

400

c

，
周長之差為（2a+

400

a

）-（2c+

400

c

）=

2(a-c)(ac-200)

ac

，
∵a＞c，ac＞200，∴周長之差大于大于0，
∴圖乙中的方案矩形周長較大．

點評：此題考查了分式混合運算的應用，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，作差法判斷兩式的大小，以及矩形面積公式，是一道綜合性較強的試題．