Question

（2013•玄武區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿折線AC-CB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AC，CB，BA邊上運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3，4，5個(gè)單位．直線l從與AC重合的位置開始，以每秒

4

3

個(gè)單位的速度沿CB方向平行移動(dòng)，即移動(dòng)過程中保持l∥AC，且分別與CB，AB邊交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)t=5秒時(shí)，點(diǎn)P走過的路徑長(zhǎng)為

19

；當(dāng)t=

3

秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，當(dāng)EN⊥AB時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AC-CB-BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)，記為點(diǎn)Q．在點(diǎn)P與直線l運(yùn)動(dòng)的過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）由條件可以求出AB=10，根據(jù)P點(diǎn)在各邊的速度可以求出在各邊所用的時(shí)間，從而可以求出P在5秒內(nèi)走的路程，根據(jù)CE=P走的路程-AC建立方程就可以求出其值；
（2）如圖，由點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，可知∠PEF=∠MEN，由EF∥AC，∠C=90°可以得出∠CPE=∠PEF，又由EN⊥AB，就有∠B=∠MEN．可以得出∠CPE=∠B．最后利用三角函數(shù)的關(guān)系建立方程求出其解就可以了；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分兩種情況當(dāng)P點(diǎn)在AC上時(shí)和當(dāng)P在AB上時(shí)可以分別求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
由勾股定理，得AB=10，
∵點(diǎn)P在AC，CB，BA邊上運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3，4，5個(gè)單位，
∴點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：6÷3=2秒，
點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：8÷4=2秒，
∴點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：5-2-2=1秒，
∴P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)的距離為：5×1=5，
∴當(dāng)t=5秒時(shí)，點(diǎn)P走過的路徑長(zhǎng)為 19；
由題意可知，當(dāng)（t-2）×4=

4

3

t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
解得：t=3，
∴t=3秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
故答案為：19，3；

（2）如圖，由點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在EF上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，可知∠PEF=∠MEN，
∵P在AC上，
∴AP=3t （0＜t≤2），
∴CP=6-3t，CE=

4

3

t．
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠BEF=90°，∠CPE=∠PEF．
∵EN⊥AB，
∴∠B=∠MEN．
∵∠PEF=∠FEN，
∴∠CPE=∠B．
∵tan∠CPE=

CE

CP

，tanB=

AC

BC

=

3

4

，
∴CP=

4

3

CE．
∴CP=

4

3

×

4

3

t=

16

9

t
∴6-3t=

16

9

t．
解得：t=

54

43

．

（3）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AC上時(shí)，（0＜t≤2）
∴AP=3t，PC=6-3t，EC=

4

3

t，
∴BE=8-

4

3

t，
∵EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴

EF

AC

=

BE

BC

，
∴

EF

6

=

8- 4 3 t

8

，
∴EF=6-t．
∵四邊形PEQF是菱形，
∴∠POE=90°，OE=

1

2

EF=3-

1

2

t，
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠OEC=90°，
∴四邊形PCEO是矩形，
∴OE=PC．
∴3-

1

2

t=6-3t，
∴t=

6

5

，
如圖2，當(dāng)P在AB上時(shí)（4＜t＜6），
∵四邊形PFQE是菱形，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠FEB=∠FEP+∠PEB=90°，
∴∠B+∠EFB=90°，
∴∠B+∠FEP=90°，
∴∠PEB=∠B，
∴PE=PB．
∵PB=5（t-4），
∴BF=10（t-4），
∵sin∠B=

3

5

=

EF

BF

，
∴

EF

10(t-4)

=

3

5

，
∴EF=6t-24
∵CE=

4

3

t，
∴BE=8-

4

3

t，
∵△FEB∽△ACB，
∴

EF

AC

=

BE

BC

，
∴

EF

6

=

8- 4 3 t

8

，
∴EF=6-t．
∴6-t=6t-24
解得t=

30

7

∴t的值為

6

5

（秒）或

30

7

（秒）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用及分類討論思想的運(yùn)用，解答本題時(shí)利用相似三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．