Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，0），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，將拋物線C₁向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A，交拋物線C₂于點(diǎn)B，拋物線C₂的頂點(diǎn)為P，求△DBP的面積
（3）如圖2，連接AP，過點(diǎn)B作BC⊥AP于C，設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

分析：（1）已知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入即可；
（2）根據(jù)平移規(guī)律求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即P（2，-1），根據(jù)頂點(diǎn)式，得平移后拋物線解析式y(tǒng)=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；
（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計(jì)算FC（AC+EC）為定值．

解答：（1）解：∵拋物線頂點(diǎn)為D（1，0），經(jīng)過點(diǎn)（0，1）
∴可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點(diǎn)（0，1）代入，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；
（2）解：根據(jù)題意，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)P（2，-1）
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）證明：過點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
即

(t-2)2

EC

=

t-2

2

，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
即

4-t

FC

=

3-(t2-4t+3)

4

，
得FC=

4

t

，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

t

[4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）為定值8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合能力培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．