Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線(xiàn)PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最小？若存在，求出最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長(zhǎng)；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線(xiàn)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得△PBQ各邊的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定，即可得以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ與AP的長(zhǎng)，可得PQ是△ABC的中位線(xiàn)，即可得PQ是AC的垂直平分線(xiàn)，可得當(dāng)M與P重合時(shí)△BCM得周長(zhǎng)最小，則可求得最小周長(zhǎng)的值．
解答：解：（1）設(shè)AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4y）²+（3y）²=10²，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10-x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴，
∴QH=xcm，
y=BP•QH=（10-x）•x=-x²+8x（0＜x≤3），
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10-x）cm，AQ=（14-2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，
∴，
即：=，
解得：QH′=（14-2x）cm，
∴y=PB•QH′=（10-x）•（14-2x）=x²-x+42（3＜x＜7）；
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=；

（3）∵AP=xcm，AQ=（14-2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴=，
即：=，
解得：x=，PQ=，
∴PB=10-x=cm，
∴==≠，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；

（4）存在．
理由：∵AQ=14-2x=14-10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位線(xiàn)，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線(xiàn)，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，
∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．