Question

已知：如圖，在矩形中，是對角線.點為矩形外一點且滿足，.交于點，連接，過點作交于.

（1）若，求矩形的面積；
（2）若，求證：.

Answer 1

（1）3（2）證明見解析

（1）∵AP⊥CP且AP＝CP
∴△APC為等腰直角三角形
∵AP＝
∴AC＝.................1分
∵AB＝BC
∴設AB＝x，BC＝3x
∴在Rt△ABC中
x²+(3x)²=10
10x²=10
x=1.................3分
∴.................4分
（2）延長AP，CD交于Q

∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=90⁰
且∠CND=∠ANP
∴∠1=∠2
又∠3+∠5=∠4+∠5=90⁰
∴∠3=∠4
又∵AP＝CP
∴△APM≌△CPD
∴DP＝PM
又∵CD＝PM
∴CD＝PD
∴∠1＝∠3
∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°
∵∠1＝∠3
∴∠Q=∠6
∴DQ=DP=CD
∴D為CQ中點
又∵AD⊥CQ
∴AC＝AQ＝AP+PQ
又∵∠1＝∠2
∠APN＝∠CPQ＝90⁰
AP=CP  ∴△APN≌△CPQ
∴PQ＝PN
∴AC＝AP+PQ＝AP+PN.................10分
（1）由已知條件知△APC為等腰直角三角形，即可求得AC的長，再利用勾股定理求得AB，BC的長，從而求得矩形ABCD的面積
（2）延長AP，CD交于Q,通過角之間的等量關系，求得△APN≌△CPQ，得出PQ＝PN，從而求得結論