Question

已知：如圖1，給出下列6個(gè)論斷，①AB是⊙O₁的直徑；②EC是⊙O₁的切線；③AC是⊙O₂的直徑；④BC•EC=DE•BD；⑤DE∥BC；⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²．
（1）將6個(gè)論斷中的3個(gè)作為題設(shè)，2個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題，并加以證明；
（2）如果AB不是⊙O₂直徑（如圖2），你能否再?gòu)钠溆?個(gè)論斷中選取一個(gè)論斷作為題設(shè)，一個(gè)論斷作為結(jié)論，使其成為真命題（不要求證明）？若能，請(qǐng)寫出兩個(gè)；若不能，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，寫出兩個(gè)真命題．

Answer 1

分析：（1）把①AB是⊙O₁的直徑；②EC是⊙O₁的切線；③AC是⊙O₂的直徑作為條件，把⑤DE∥BC，⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²作為結(jié)論；
（2）從條件中選一個(gè)，根據(jù)題意進(jìn)行推理，觀察能得到什么結(jié)論，再根據(jù)余下的條件進(jìn)行證明．

解答：解：連接AE，
∵AC為⊙O直徑
∴∠AEC=∠ADC=90°
∴△AEC≌△ADC
∴CD=CE，EF=DF=

1

2

ED；
（1）∵EC為⊙O₁切線
∴∠ECA=∠ABC
∵∠EDA+∠CAD=90°，∠ABC+∠CAD=90°
∴∠EDA=∠ABC
∴ED∥BC
故⑤DE∥BC成立
∵△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE•BC=2CE²
故⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²，成立；

（2）能，
（Ⅰ）②EC是⊙O₁的切線作條件，⑤DE∥BC作結(jié)論，
證明：
∵EC是⊙O₁的切線
∴∠ECA=∠CBA
∵同弧所對(duì)的圓周角相等
∴∠ECA=∠ADE
∴∠CBA=∠ADE
∴DE∥BC；
（Ⅱ）①AB是⊙O₁的直徑作為條件，⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²作為結(jié)論，
∵AC為⊙O₂直徑
∴△CFD∽△BDC
∴

DF

CD

=

CD

BC

又∵CD=CE，DF=

1

2

ED
∴DE•BC=2CE²．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道條件、過(guò)程和結(jié)論都開放的題目，考查了同學(xué)們的發(fā)散思維能力，需要從條件中找出符合題意的條件進(jìn)行組合，并進(jìn)行嚴(yán)格證明．