Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)，且OA=2OC．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）求的值；

（3）如果點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，且∠CAD=45º，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

 

Answer 1

(1)M(2,4)；(2)tan∠MAC=；(3)，.

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-3）就可以求出OC的值及c的值，進(jìn)而求出OA的值及A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出b的值而求出解析式及定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E．在Rt△AHM中，HM=AH=4，就可以求出AM的值，再由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，就可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，從而求出AE的值就可以得出結(jié)論；

（3）如圖2，分類討論，當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時(shí)，根據(jù)角之間的關(guān)系就可以求出∠D1AH=∠CAM，當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時(shí)，∠MAC=∠AD2M就可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：

∵C(0，-3)，∴OC=3.

∵OA=2OC,∴OA=6.

∵，點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，拋物線與y軸交點(diǎn)C(0，-3)

∴.

∴.

∴，∴.

（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)E.

在Rt△AHM中,HM=AH=4,,.求得直線AC的表達(dá)式為．

∴N（2,-2）．∴MN=2.

在Rt△MNE中,∴,

∴.

在Rt△AEN中,.

（3）?當(dāng)D點(diǎn)在AC上方時(shí)，

∵,

又 ∵,

∴.

∴

∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上,

∴,∴.

在Rt△AH中,.

∴.

?當(dāng)D點(diǎn)在AC下方時(shí)，

∵，

又 ∵∠AMH=∠D2AM+∠AD2M=45º，

∴.

∴

在Rt△中，.

∴.

綜上所述：，.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．