Question

如圖，△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于點D、E、F，過點F作BC的平行線分別交直線DA、DE于點H、G．問：圖中除由切線長定理可知AF=AE，BF=BD，CD=CE外，還有相等的線段嗎？若有，請指出來，并加以證明．

Answer 1

分析：首先過點A作FG的平行線分別交DF、DG的延長線于點M、N，得出AM=AN，再利用三角形相似得出對應邊的關系，從而得出相等的線段．

解答：解：有相等的線段：HG=HF
過點A作FG的平行線分別交DF、DG的延長線于點M、N
則∠AMF=∠BDF
由切線長定理知BF=BD、AF=AE．
所以∠BDF=∠BFD，
又∵∠BFD=∠AFM，
∴∠AMF=∠AFM，
∴AM=AF，
同理：AN=AE，
∴AM=AN，
又FG∥MN，
∴△DFH∽△DMA，

HF

AM

=

DH

DA

，
同理：

HG

AN

=

DH

DA

，
∴

HF

AM

=

HG

AN

，
∴HG=HF．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，以及切線長定理和三角形的內(nèi)心等知識，作平行線構造相似三角形是幾何問題中一個常用方法，應注意有意識的應用．