28、閱讀探究:
例:如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),∠AMN=60°,且MN交三角形外角的平分線CN于點(diǎn)N、求證:AM=MN.
思路點(diǎn)撥:取的AB中點(diǎn)P,連接PM,易證△APM≌△MCQ從而AM=MN.
問題解決:
(1)如圖2,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),CN是正方形ABCD的外角∠DCQ的平分線.
①填空:當(dāng)∠AMN=
90°
°時(shí),AM=MN;
②證明①的結(jié)論.
(2)請(qǐng)根據(jù)例題和問題(1)的解題過程,在正五邊形ABCDE中推廣出一個(gè)類似的真命題.(請(qǐng)?jiān)趫D3中作出相應(yīng)圖形,標(biāo)注必要的字母,并寫出已知和結(jié)論,無需證明.)
分析:(1)當(dāng)∠AMN=90°時(shí),AM=MN.取的AB中點(diǎn)P,連接PM,根據(jù)正方形的性質(zhì),四邊相等,四個(gè)角都是直角,以及直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半等結(jié)論,最后能證明△APM≌△MCQ從而得到結(jié)論.
(2)根據(jù)例題和問題(1)可知都是取一個(gè)邊的中點(diǎn),所以正五邊形ABCDE中點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),CN是正五邊形ABCDE的外角∠DCQ的平分線,當(dāng)∠AMN=108°.求證:AM=MN.
解答:(1)解:①填空:當(dāng)∠AMN=90°時(shí),AM=MN;(2分)

②證明:取的AB中點(diǎn)P,連接PM,(3分)
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠PAM+∠AMB=90°,
∵∠AMN=90°,
∴∠CMN+∠AMB=90°,
∴∠PAM=CMN,(4分)
∵點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),
點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn),
AB=BC,
∴AP=MC,
BP=BM,
∵∠B=90°,
∴△BPM是等腰直角三角形,
∴∠BPM=45°,
∴∠APM=135°,
∵∠DCB=90°,
∴∠DCQ=90°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠MCN=135°,
∴∠APM=∠MCN,(5分)
∴△APM≌△MCN,
∴AM=MN;(6分)

(2)正五邊形ABCDE中點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),CN是正五邊形ABCDE的外角∠DCQ的平分線,當(dāng)∠AMN=108°.
求證:AM=MN.(8分)
(圖形和文字均正確得(2分),否則不得分)
點(diǎn)評(píng):本題考查理解題意能力,根據(jù)例題可類比做其他題目,本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)你閱讀引例及其分析解答,希望能給你以啟示,然后完成對(duì)探究一和探究二中間題的解答.
引例:設(shè)a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù),求證:
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
2
(a+b+c),
分析:考慮不等式中各式的幾何意義,我們可以試構(gòu)造一個(gè)邊長為a+b+c的正方形來研究.
解:如圖①設(shè)正方形的邊長為a+b+c,
則AB=
a2+b2
,
BC=
b2+c 2
,
CD=
a2+c2

顯然AB+BC+CD≥AD,
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
2
(a+b+c)
探究一:已知兩個(gè)正數(shù)x、y,滿足x+y=12,求
x2+4
+
y2+9
的最小值:
解:(圖②僅供參考)
探究二:若a、b為正數(shù),求以
a2+b2
,
4a2+b2
,
a2+4b2
為邊的三角形的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

作業(yè)寶(1)閱讀理解:
我們知道,只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角,但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角頂點(diǎn)為P,
“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS,(這個(gè)條件很重要哦。┕闯叩囊贿匨N滿足M,N,Q三點(diǎn)共線(所以PQ⊥MN).
下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程:
第一步:畫直線DE使DE∥BC,且這兩條平行線的距離等于PQ;
第二步:移動(dòng)勾尺到合適位置,使其頂點(diǎn)P落在DE上,使勾尺的MN邊經(jīng)過點(diǎn)B,同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上;
第三步:標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置,作射線BQ和射線BP.
請(qǐng)完成第三步操作,圖中∠ABC的三等分線是射線______、______.
(2)在(1)的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過程:
∵_(dá)_____,BQ⊥PR,
∴BP=BR.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)
∴∠______=∠______.
∵PQ⊥MN,PT⊥BC,PT=PQ,
∴∠______=∠______.
(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)
∴∠______=∠______=∠______.
(3)在(1)的條件下探究:數(shù)學(xué)公式是否成立?如果成立,請(qǐng)說明理由;如果不成立,請(qǐng)?jiān)趫D2中∠ABC的外部畫出數(shù)學(xué)公式(無需寫畫法,保留畫圖痕跡即可).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:江蘇期末題 題型:探究題

閱讀探究:
例:如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),∠AMN=60°,且MN交三角形外角的平分線CN于點(diǎn)N.求證:AM=MN.
思路點(diǎn)撥:取的AB中點(diǎn)P,連結(jié)PM 易證△APM ≌△MCQ 從而AM=MN.
問題解決:
(1)如圖2,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),CN是正方形 ABCD的外角∠DCQ的平分線.
        ①填空:當(dāng)∠AMN = __________ °時(shí),AM=MN;
        ②證明①的結(jié)論.
(2)請(qǐng)根據(jù)例題和問題(1)的解題過程,在正五邊形ABCDE中推廣出一個(gè)類似的真命題.(請(qǐng)?jiān)趫D3中作出相應(yīng)圖形,標(biāo)注必要的字母,并寫出已知和結(jié)論,無需證明.)

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