【題目】⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,過 的中點P作⊙O的直徑PG,與弦BC相交于點D,連接AG、CP、PB.
(1)如圖1,求證:AG=CP;
(2)如圖2,過點P作AB的垂線,垂足為點H,連接DH,求證:DH∥AG;
(3)如圖3,連接PA,延長HD分別與PA、PC相交于點K、F,已知FK=2,△ODH的面積為2 ,求AC的長.
【答案】
(1)證明:∵過 的中點P作⊙O的直徑PG,
∴CP=PB,
∵AB,PG是相交的直徑,
∴AG=PB,
∴AG=CP
(2)證明:如圖 2,連接BG
∵AB、PG都是⊙O的直徑,
∴四邊形AGBP是矩形,
∴AG∥PB,AG=PB,
∵P是弧BC的中點,
∴PC=BC=AG,
∴弧AG=弧CP,
∴∠APG=∠CAP,
∴AC∥PG,
∴PG⊥BC,
∵PH⊥AB,
∴∠BOD=90°=∠POH,
在△BOD和△POH中,
,
∴△BOD≌△POH,
∴OD=OH,
∴∠ODH= (180°﹣∠BOP)=∠OPB,
∴DH∥PB∥AG
(3)解:如圖3,作CM⊥AP于M,ON⊥DH于N,
∴∠HON= ∠BOP= ∠COP=∠CAP,
∴△HON∽△CAM,
∴ ,
作PQ⊥AC于Q,
∴四邊形CDPQ是矩形,
△APH與△APQ關(guān)于AP對稱,
∴HQ⊥AP,
由(1)有:HK⊥AP,
∴點K在HQ上,
∴CK=PK,
∴PK是△CMP的中位線,
∴CM=2FK=4,MF=PF,
∵CM⊥AP,HK⊥AP,
∴CM∥HK,
∴∠BCM+∠CDH=180°,
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK,
∴∠MHK+∠CDH=180°,
∴四邊形CDHM是平行四邊形,
∴DH=CM=4,DN=HN=2,
∵S△ODH= DH×ON= ×4×ON=2 ,
∴ON= ,
∴OH= =5,
∴AC= =10
【解析】(1)利用等弧所對的圓周角相等即可求解;(2)利用等弧所對的圓周角相等,得到角相等∠APG=∠CAP,判斷出△BOD≌△POH,再得到角相等,從而判斷出線平行;(3)由三角形相似,得出比例式,△HON∽△CAM, ,再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形,最后經(jīng)過計算即可求解.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們已經(jīng)知道,有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形.其中直角所在的兩條邊叫直角邊,直角所對的邊叫斜邊(如圖①所示).數(shù)學(xué)家已發(fā)現(xiàn)在一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方.如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長度分別是和,斜邊長度是,那么可以用數(shù)學(xué)語言表達:.
(1)在圖②,若,,則 ;
(2)觀察圖②,利用面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系,試說明的正確性.其中兩個相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上;
(3)如圖③所示,折疊長方形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,已知AB=8,BC=10,利用上面的結(jié)論求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上一點,連接BD,將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,DE與AB相交于點F,過點D作DG⊥AB,垂足為點G.若EF=5,CD=2 ,則△BDG的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人利用不同的交通工具,沿同一路線從A地出發(fā)前往B地,甲出發(fā)1h后,乙出發(fā).設(shè)甲與A地相距y甲(km),乙與A地相距y乙(km),甲離開A地時間為x(h),y甲、y乙與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)甲的速度是 km/h.
(2)請分別求出y甲、y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)乙與A地相距240km時,甲與B地相距多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在新晚報舉辦的“萬人戶外徒步活動”中,為統(tǒng)計參加活動人員的年齡情況,從參加人員中隨機抽取了若干人的年齡作為樣本,進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計,制成如圖的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分).
(1)本次活動統(tǒng)計的樣本容量是多少?
(2)求本次活動中70歲以上的人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)本次參加活動的總?cè)藬?shù)約為12000人,請你估算參加活動人數(shù)最多的年齡段的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求證:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩塊面積相同的試驗田,分別收獲蔬菜900kg和1500kg,已知第一塊試驗田每畝收獲蔬菜比第二塊少300kg,求第一塊試驗田每畝收獲蔬菜多少千克?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點.
(1)若EF=3,BC=8,求△EFM的周長;
(2)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠EMF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為10,圓O分別與AB、AD相切于E、F兩點,且與BG相切于G點.若AO=5,且圓O的半徑為3,則BG的長度為何?( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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