Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動．點P、Q分別從起點同時出發(fā)，移動到某一位置時所需時間為t秒

當t = 4時，求線段PQ的長度

(2)當t為何值時，△PCQ是等腰三角形？

（3）當t為何值時，△PCQ的面積等于16cm2？

（4）當t為何值時，△PCQ∽△ACB

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由于點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動，點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒，而t=4，由此可以用t表示AP、PC、CQ的長度，然后利用勾股定理即可求出PQ的長度；

（2）令PC＝CQ，求t的值.

（3）首先用t分別表示CP，CQ的長度，然后利用三角形的面積公式即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可解決問題；

（4）利用直角三角形的斜邊中點的性質(zhì)可以證明△ABC和△PCQ相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得t的值.

試題解析：

（1）當t=4時，
∵點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動，點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，
∴AP=4cm，PC=AC﹣AP=6cm、CQ=2×4=8cm，
∴PQ= =10cm；

（2）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，

當PC＝CQ時

10-t=2t

t=

（3）∵AP=t，PC=AC﹣AP=10﹣t、CQ=2t，

∴S△PQC=PC×CQ=t（10﹣t）=16，

∴t1=2，t2=8，當t=8時，CQ=2t=16＞15，

∴舍去，

∴當t=2時，△PQC的面積等于16cm2；

（4）∵點O為AB的中點，∠ACB=90°，
∴OA=OB=OC（直角三角形斜邊上中線定理），
∴∠A=∠OCA，
而∠OCA+∠QPC=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠QPC，又∠ACB=∠PCQ=90°，
∴△ABC∽△QPC,

∴

∴t=2.5s．