Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，求的周長(zhǎng)的最小值；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）△ACD的周長(zhǎng)的最小值是2+2（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（1，﹣3）

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）由軸對(duì)稱的最短路徑得：因?yàn)锽與C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以連接AB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求其三邊相加即可；

（3）存在，當(dāng)A和C分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，畫出直角三角形，設(shè)P（1，y），根據(jù)三角形相似列比例式可得P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，2）代入拋物線y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴拋物線函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣x2+x+2；

（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；

∴對(duì)稱軸是：直線x=1，

如圖1，過B作BE⊥x軸于E，

∵C（0，2），B（2，2），對(duì)稱軸是：x=1，

∴C與B關(guān)于x=1對(duì)稱，

∴CD=BD，

連接AB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB==2，

AC==2，

∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；

答：△ACD的周長(zhǎng)的最小值是2+2，

（3）存在，

分兩種情況：

① 當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，△ACP是直角三角形，如圖2，

過P作PD⊥y軸于D，

設(shè)P（1，y），

則△CGP∽△AOC，

∴，

∴=，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

② 當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，△ACP是直角三角形，如圖3，

設(shè)P（1，y），

則△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

綜上所述，△ACP是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（1，﹣3）．