Question

如圖A是半圓上一個三等分點，B是

AM

的中點，P是直徑MN上一動點．已知⊙O半徑為1，求AP+BP的最小值

2

．

Answer 1

分析：找點A或點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答：解：作點B關(guān)于MN的對稱點E，連接AE交MN于點P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC，連接CE，OE，
又∵B是

AM

的中點，
∴

AB

=

BM

=

ME

=

1

2

AM

，
又∵A是半圓的三等份點，
∴∠AOM=60°，∠MOE=

1

2

∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，此題的難點是確定點P的位置：找點B關(guān)于MN的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和AE于MN的交點P就是所求作的位置．再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)求出∠CAE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．