Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC右側(cè)作射線CP，∠ACP=（0°<<60°），點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，BD交CP于點E，連接AD，AE.

（1）求∠DBC的大小（用含的代數(shù)式表示）；

（2）在（0°<<60°）的變化過程中，∠AEB的大小是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請直接寫出變化的范圍；如果不發(fā)生變化，請直接寫出∠AEB的大小；

（3）用等式表示線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不會發(fā)生變化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，證明見解析.

【解析】

（1）如圖1，連接CD，由軸對稱的性質(zhì)可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等邊三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，進一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；

（2）設(shè)AC、BD相交于點H，如圖2，由軸對稱的性質(zhì)可證明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，進而得∠DBC=∠CAE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判斷；

（3）如圖3，在BD上取一點M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性質(zhì)得出∠BEC，進而得△CME是等邊三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差關(guān)系可得∠BCM=∠DCE，再根據(jù)SAS證明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，進一步即可得出線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系.

解：（1）如圖1，連接CD，∵點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=，

∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠BCD=，BC=DC，

∴∠DBC=∠BDC；

（2）∠AEB的大小不會發(fā)生變化，且∠AEB=60°.

理由：設(shè)AC、BD相交于點H，如圖2，∵點A關(guān)于射線CP的對稱點為點D，

∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，

∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，

即∠AEB的大小不會發(fā)生變化，且∠AEB=60°；

（3）AE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=2AE+CE.

證明：如圖3，在BD上取一點M，使得CM=CE，

∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=，

∴△CME是等邊三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE，

∴，

∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE，

∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE，

∵AE=DE，

∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.