(1997•北京)已知矩形的長大于寬的2倍,周長為12.從它的一個頂點(diǎn)作一條射線,將矩形分成一個三角形和一個梯形,且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于
12
.設(shè)梯形的面積為S,梯形中較短的底的長為x,試寫出梯形面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍.
分析:畫出圖形,先求出矩形的較長的邊與較短的邊的范圍,然后分①AE與較短的邊的夾角的正切值等于
1
2
時,設(shè)BE=m,表示出AB,再根據(jù)矩形的周長列式表示出m,然后根據(jù)梯形的面積公式列式整理即可得解,再根據(jù)BE與BC的長度范圍求出x的取值范圍;②AE與較長的邊的夾角的正切值等于
1
2
時,設(shè)AB=CD=n,表示出BE,然后根據(jù)矩形的周長表示出m,再根據(jù)矩形的面積公式列式整理即可得解,再根據(jù)BE、BC的長度范圍求出x的取值范圍.
解答:解:∵矩形ABCD的長大于寬的2倍,矩形的周長為12,
∴AD>4,AB<2,
根據(jù)題意,可分為以下兩種情況:
第一種情況,如圖1,
當(dāng)tan∠BAE=
1
2
時,設(shè)CE=x,BE=m,
則AB=DC=2m,AD=m+x,
∵AB+AD=6,
∴2(2m+m+x)=12,
m=
6-x
3

S梯形AECD=
1
2
(AD+EC)•DC,
=
1
2
[(m+x)+x]•2m,
=m(m+2x),
=
6-x
3
6+5x
3
,
=-
5
9
x2+
8
3
x+4,
6-x
3
>0,
6-x
3
+x>4,
∴x<6,x>3,
∴x的取值范圍是3<x<6;

第二種情況,如圖2,
tan∠AEB=
1
2
時,
設(shè)CE=x,AB=CD=n,
則BE=2n,AD=2n+x,
∵矩形的周長為12,
∴AB+AD=6,
∴2(n+2n+x)=12,n=
6-x
3

S梯形AECD=
1
2
(AD+EC)•DC,
=
1
2
[(2n+x)+x]•n,
=n(n+x),
=
6-x
3
6+2x
3

=-
2
9
x2+
2
3
x+4,
6-x
3
>0,2×
6-x
3
+x>4,
∴x<6,x>0,
∴x的取值范圍是0<x<6.
點(diǎn)評:本題考查了矩形的性質(zhì),解直角三角形,梯形的面積公式,難點(diǎn)在于要分情況討論.
練習(xí)冊系列答案
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(1997•北京)已知:關(guān)于x的方程x2-3x+2k-1=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和不小于這兩個根的積,且反比例函數(shù)y=
1+2kx
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(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),判斷點(diǎn)(8,-20)是否在過D、F兩點(diǎn)的直線上,并說明現(xiàn)由.

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