Question

（2013•湛江）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：
sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，則sin²30°+cos²30°=

1

；①
sin45°=

2

2

，cos45°=

2

2

，則sin²45°+cos²45°=

1

；②
sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

，則sin²60°+cos²60°=

1

．③
…
觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin²A+cos²A=

1

．④
（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)∠A證明你的猜想；
（2）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA=

3

5

，求cosA．

Answer 1

分析：①②③將特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可求出其值；
④由前面①②③的結(jié)論，即可猜想出：對(duì)任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1；
（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=

BD

AB

，cosA=

AD

AB

，則sin²A+cos²A=

BD2+AD2

AB2

，再根據(jù)勾股定理得到BD²+AD²=AB²，從而證明sin²A+cos²A=1；
（2）利用關(guān)系式sin²A+cos²A=1，結(jié)合已知條件cosA＞0且sinA=

3

5

，進(jìn)行求解．

解答：解：∵sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，
∴sin²30°+cos²30°=（

1

2

）²+（

3

2

）²=

1

4

+

3

4

=1；①
∵sin45°=

2

2

，cos45°=

2

2

，
∴sin²45°+cos²45°=（

2

2

）²+（

2

2

）²=

1

2

+

1

2

=1；②
∵sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

，
∴sin²60°+cos²60°=（

3

2

）²+（

1

2

）²=

3

4

+

1

4

=1．③
觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A，都有sin²A+cos²A=1．④
（1）如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．
∵sinA=

BD

AB

，cosA=

AD

AB

，
∴sin²A+cos²A=（

BD

AB

）²+（

AD

AB

）²=

BD2+AD2

AB2

，
∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，
∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinA=

3

5

，sin²A+cos²A=1，∠A為銳角，
∴cosA=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，比較簡(jiǎn)單．