如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時(shí)BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.
①求證:BD⊥CF;
②當(dāng)AB=4,AD=時(shí),求線段BG的長(zhǎng).
解:(1)BD=CF成立。理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(SAS)!郆D=CF。
(2)①證明:設(shè)BG交AC于點(diǎn)M.
∵△BAD≌△CAF(已證),∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N。
∵在正方形ADEF中,AD=DE=,
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC﹣AN=3,。
∴在Rt△FCN中,。
在Rt△ABM中,。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣,。
∵△BMA∽△CMG,∴,即,∴CG=。
∴在Rt△BGC中,。
解析
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