Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運動，當點N到達點A時，M、N同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）記△DMN的面積為S，求S關于t的解析式，并求S的最大值；

（3）當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO=∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質，求出菱形的周長；

（2）在動點M、N運動過程中：①當0＜t≤40時，如答圖1所示，②當40＜t≤50時，如答圖2所示．分別求出S的關系式，然后利用二次函數(shù)的性質求出最大值；

（3）如答圖3所示，在Rt△PKD中，DK長可求出，則只有求出tan∠DPK即可．為此，在△ODM中，作輔助線，構造Rt△OND，作∠NOD平分線OG，則∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，從而問題解決．解答中提供另外一種解法，請參考．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

∵AC⊥BD

∴AD==50．

∴菱形ABCD的周長為200．

（2）過點M作MP⊥AD，垂足為點P．

①當0＜t≤40時，如答圖1，

∵sin∠OAD===，

∴MP=AM•sin∠OAD=t．

S=DN•MP=×t×t=t²；

②當40＜t≤50時，如答圖2，MD=70﹣t，

∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．

∴S_△DMN=DN•MP=×t×（70﹣t）=t²+28t=（t﹣35）²+490．

∴S=

當0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當t=40時，最大值為480．

當40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，當t=40時，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480．

（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON．

方法一：如答圖3所示，過點N作NF⊥OD于點F，

則NF=ND•sin∠ODA=30×=24，DF=ND•cos∠ODA=30×=18．

∴OF=12，∴tan∠NOD===2．

作∠NOD的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H，則FG=GH．

∴S_△ONF=OF•NF=S_△OGF+S_△OGN=OF•FG+ON•GH=（OF+ON）•FG．

∴FG===，

∴tan∠GOF===．

設OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG

∴tan∠DPK===，

∴PK=．

根據(jù)菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點P′．

∴存在兩個點P到OD的距離都是．

方法二：答圖4所示，作ON的垂直平分線，交OD的垂直平分線EF于點I，連結OI，IN．

過點N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H．

當t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，

∴，即．

∴NG=24，DG=18．

∵EF垂直平分OD，

∴OE=ED=15，EG=NH=3．

設OI=R，EI=x，則

在Rt△OEI中，有R²=15²+x²        ①

在Rt△NIH中，有R²=3²+（24﹣x）²     ②

由①、②可得：

∴PE=PI+IE=．

根據(jù)對稱性可得，在BD下方還存在一個點P′也滿足條件．

∴存在兩個點P，到OD的距離都是．

（注：只求出一個點P并計算正確的扣．）

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．第（2）問中，動點M在線段AO和OD上運動時，是兩種不同的情形，需要分類討論；第（3）問中，滿足條件的點有2個，注意不要漏解．