Question

（2002•無(wú)錫）已知直線(xiàn)y=kx-4（k＞0）與x軸和y軸分別交于A(yíng)、C兩點(diǎn)；開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離AO、BO滿(mǎn)足AO=3BO，點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離等于，求這條直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式．
（2）問(wèn)是否存在這樣的拋物線(xiàn)，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圓截y軸所得的弦長(zhǎng)等于5？若存在，求出這樣的拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建直角三角形求解，過(guò)B作BE⊥AC于E，交y軸于D，可根據(jù)直線(xiàn)的解析式用k表示出OA、OB的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)，已知了BE的長(zhǎng)度，可用勾股定理求出AE的長(zhǎng)；
AE長(zhǎng)的另一種表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的長(zhǎng)表示出AE，然后聯(lián)立兩個(gè)AE的表達(dá)式即可求出k的值．進(jìn)而可求出直線(xiàn)的解析式和拋物線(xiàn)的解析式．
（2）已知了C點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是確定拋物線(xiàn)的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．可用韋達(dá)定理來(lái)求解．已知了三角形ABC的外接圓（設(shè)圓心為P）截y軸的弦長(zhǎng)為5，那么OD=1，根據(jù)相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出韋達(dá)定理中兩根積的值，即可求出二次項(xiàng)系數(shù)的值．連AP、BP，過(guò)P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
根據(jù)垂徑定理和圓周角定理不難得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，據(jù)此可求出AE和AB的長(zhǎng)，即可得出A、B橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，由此可求出一次項(xiàng)系數(shù)的值，即可確定拋物線(xiàn)的解析式．
解答：解：（1）易知：A（，0），
因此OA=，OB=，B（-，0），
∴AB=，
過(guò)B作BE⊥AC于E，交y軸于D，在直角三角形ABE中，
AE==．
根據(jù)直線(xiàn)AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，
因此AE==，即：
=，
解得k=（負(fù)值舍去）．
∴直線(xiàn)的解析式為y=x-4．
∴A（3，0），B（-1，0）
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-3）（x+1），
由于拋物線(xiàn)過(guò)C（0，-4），
則有：a（0-3）（0+1）=-4，a=，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x-4．

（2）假設(shè)存在這樣的拋物線(xiàn)，其解析式為y=ax²+bx-4．
設(shè)△ABC的外接圓圓心為P，連AP、BP，過(guò)P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
∵圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)A、B及C（0，-4）．
∴圓P過(guò)點(diǎn)D（0，1）
∴P點(diǎn)在x軸下方，
∴CF=DF=，PE=OF=4-=．
∵∠APE=∠APB=∠ACB，
∴tan∠APE==tan∠ACB=2，
∴AE=2PE=3，
∴AB=2AE=6，
∵OA•OB=OC•OD，即-x₁x₂=4．
∴=4，a=1．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²+bx-4．
∵AB=6，
∴x₁-x₂=6．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+16=36．
∴b=±2．
∴存在這樣的拋物線(xiàn)y=x²±2x-4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．