Question

（2012•福州質(zhì)檢）如圖1，已知拋物線y=

4

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（0，4）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H（如圖2），問(wèn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（3，0）、B（0，4）兩點(diǎn)代入求出即可；
（2）首先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△CTC'∽△BOA，得出

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，進(jìn)而得出C'T=

48

25

，CT=

64

25

的值求出C′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）首先求出圓的半徑，再利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得PA=PC，根據(jù)|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|最大，求出即可．

解答：解：（1）由題意得：

4 3 ×9+3b+c=0 c=4

，
解得：

b=- 16 3 c=4

．
∴拋物線解析式為y=

4

3

x²-

16

3

x+4；

（2）令y=0，得

4

3

x²-

16

3

x+4=0．
解得：x₁=1，x₂=3．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足為Q，延長(zhǎng)CQ，使CQ=C'Q，則點(diǎn)C′，
就是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
由△ABC的面積得：

1

2

CQ•AB=

1

2

CA•BO，
∵AB=

AO2+BO2

=5，CA=2，
∴CQ=

8

5

，CC'=

16

5

．
作C'T⊥x軸，垂足為T(mén)，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴

C′T

OA

=

CC′

AB

=

CT

OB

，
∴C'T=

48

25

，CT=

64

25

∴OT=1+

64

25

=

89

25

，
∴C'點(diǎn)的坐標(biāo)為（

89

25

，

48

25

）；

（3）設(shè)⊙D的半徑為r，
則AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．    
HB=4-3=1．
作HN⊥y軸，垂足為N，
則

HN

OA

=

HB

AB

，

BN

OB

=

HB

AB

，
∴HN=

3

5

，BN=

4

5

，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

5

，

24

5

）．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|最大．
∵HC=

(1+ 3  5  )2+( 24 5 )2

=

8

5

10

，
∴|PH-PA|的最大值為

8

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PH-PC|是此題難點(diǎn)．