Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，E為DC邊上一點(diǎn)，若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6．
（1）求AB的長；
（2）求EG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及三角形中等邊對(duì)等角，用等量代換得到∠ACB=∠ACE，再用相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的先相等求出AB的長．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DE是△PBC的中位線，求出BC的長，再用勾股定理和相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比進(jìn)行計(jì)算求出EG的長．

解答：解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AB=AD=6．

（2）如圖：
延長BA，CD交于P，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE，
又∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∴AB=AP，PE=EC．
∴△GAE∽△GCB，且AE：BC=1：2．
∴BC=14．
在△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

196-36

=4

10

．
AG=

1

3

AC=

4 10

3

．
BG=

AB2+AG2

=

36+ 160 9

=

22

3

．
EG=

1

2

BG=

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)平行線和圓周角的性質(zhì)，得到AB=AD，求出AB的長．（2）先用等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AP，然后由AE∥BC，得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理計(jì)算求出EG的長．