Question

已知四邊形OABC是邊長為4的正方形，分別以OA、OC所在的直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，直線l經(jīng)過A、C兩點．
（1）求直線l的函數(shù)表達式；
（2）若P是直線l上的一個動點，請直接寫出當△OPA是等腰三角形時點P的坐標；
（3）如圖2，若點D是OC的中點，E是直線l上的一個動點，求使OE+DE取得最小值時點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）易得A，C兩點的坐標，設出一次函數(shù)解析式，把這兩點代入可得所求函數(shù)解析式；
（2）分別以點O或點A為圓心，以OA長為半徑畫弧，可得3個可能的點P，作出OA的垂直平分線可得第4個點P；
（3）易得點O與點B關于直線l對稱，那么連接BD，與l的交點即為點E，得到DB的解析式與l的解析式聯(lián)立可得E的坐標．

解答：解：（1）設直線l的函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b（k≠0），經(jīng)過A（4，0）和C（0，4）得

0=4k+b 4=b

，
解之得

k=-1 b=4

，
∴直線l的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃ (4-2

2

，2

2

)、P₄(4+2

2

，-2

2

)；

（3）∵O與B關于直線l對稱，
∴連接DB，交AC于點E，則點E為所求，此時OE+DE取得最小值，
設DB所在直線為y=k₁x+b₁ （k₁≠0），經(jīng)過點D（0，2）、B（4，4）

4=4k1+b1 2=b1

，
解得 

k1= 1 2 b1=2

∴直線DB為y=

1

2

x+2，
解方程組：

y=-x+4 y= 1 2 x+2

，得

x= 4 3 y= 8 3

，
∴點E的坐標為(

4

3

，

8

3

)．

點評：考查一次函數(shù)的應用；在本題中應注意可能為等腰三角形的不同情況；在求平面圖形中的最短距離和時，應找到特殊點關于直線的對應點．