Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′D′的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)O重合，A′B′交BC于點(diǎn)E，A′D′交CD于點(diǎn)F．

（1）求證：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的對角線長為4，求兩個(gè)正方形重疊部分的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于點(diǎn)E，A'D'交CD于點(diǎn)F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF

（2）2
【解析】（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S△BOE=S△COF
∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE ，
即S四邊形OECF=S△BOC ．
∵S△BOC=2，
∴兩個(gè)正方形重疊部分的面積為2．
所以答案是：2．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．