Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC= AC，連接OA，OB，BD和AD．

（1）若點A的坐標是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；
（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵AC∥x軸，A點坐標為（﹣4，4）．

∴點C的坐標是（0，4）

把A、C兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c得，

，

解得 ；

②四邊形AOBD是平行四邊形；

理由如下：

由①得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x+4，

∴頂點D的坐標為（﹣2，8），

過D點作DE⊥AB于點E，

則DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，

∴BC= AC=2，

∴AE=BC．

∵AC∥x軸，

∴∠AED=∠BCO=90°，

∴△AED≌△BCO，

∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，

∴AD∥BO，

∴四邊形AOBD是平行四邊形．

（2）

解：存在，點A的坐標可以是（﹣2 ，2）

要使四邊形AOBD是矩形；

則需∠AOB=∠BCO=90°，

∵∠ABO=∠OBC，

∴△ABO∽△OBC，

∴ ，

又∵AB=AC+BC=3BC，

∴OB= BC，

∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC= BC，AC= OC，

∵C點是拋物線與y軸交點，

∴OC=c，

∴A點坐標為（﹣ c，c），

∴頂點橫坐標 =﹣ c，b=﹣ c，

頂點D縱坐標是點A縱坐標的2倍，為2c，

頂點D的坐標為（﹣ c，2c）

∵將D點代入可得2c=﹣（﹣ c）2+ c c+c，

解得：c=2或者0，

當c為0時四邊形AOBD不是矩形，舍去，故c=2；

∴A點坐標為（﹣2 ，2）．

【解析】（1）①將拋物線上的點的坐標代入拋物線即可求出b、c的值；
②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得△ABO∽△OBC即 ，再根據(jù)勾股定理可得OC= BC，AC= OC，可求得橫坐標為﹣ c，縱坐標為c．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．