Question

已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．
（1）求證：四邊形AEFG是平行四邊形；
（2）若四邊形AEFG是矩形，請(qǐng)?zhí)剿鳌螮FB與∠FGC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形同一底邊上的兩底角相等可得∠B=∠C，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到AB∥GF，又AE=GF，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥FC，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角有∠EFG=90°，然后利用圖中的角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得解．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠B=∠GFC，
∴AB∥GF，
又∵AE=GF，
∴四邊形AEFG是平行四邊形；

（2）解：若四邊形AEFG是矩形，則∠EFB=

1

2

∠FGC．
證明如下：過(guò)G作GH⊥FC，垂足為H，
∵GF=GC，
∴∠FGH=

1

2

∠FGC，且∠FGH+∠GFC=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFH=90°，
∴∠EFB=∠FGH，
∴∠EFB=

1

2

∠FGC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及互余角的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，把已知條件與所求結(jié)論聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵．