Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（6分）
（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再沿x軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；（4分）
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q.問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （4分）

Answer 1

（1）；（2）點(diǎn)E落在拋物線上，理由見(jiàn)解析；（3）（，0）或（，0）.

試題分析：（1）由于CD∥x軸，因此C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就是（0，2），n=2，已知拋物線過(guò)D點(diǎn)，可將D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值，也就確定了拋物線的解析式；（2）由于旋轉(zhuǎn)翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的長(zhǎng)可以通過(guò)C點(diǎn)的坐標(biāo)得出，求CH即OB的長(zhǎng)，要先得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過(guò)拋物線的解析式來(lái)求得．這樣可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；（3）本題可先表示出直線PQ分梯形ABCD兩部分的各自的面積，首先要得出P，Q的坐標(biāo)，可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)如：（a，0），由于直線PQ過(guò)E點(diǎn)，因此可根據(jù)P，E的坐標(biāo)用待定系數(shù)法表示出直線PQ的解析式，進(jìn)而可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長(zhǎng)，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積，然后分類進(jìn)行討論：①梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3，②梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，根據(jù)上述兩種不同的比例關(guān)系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P點(diǎn)的坐標(biāo)，綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
試題解析：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB.
又D（5，2），∴C（0，2），OC=2．
∴，解得.
∴拋物線的解析式為：.
（2）點(diǎn)E落在拋物線上，理由如下：
由y=0，得， 解得x₁=1，x₂="4." ∴A（4，0），B（1，0）. ∴OA=4，OB=1.
由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）.
把x=3代入，得，
∴點(diǎn)E在拋物線上.
（3）存在點(diǎn)P（a，0）. 記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.
當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂ = 3，此時(shí)S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.
設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得.
∴直線PQ的解析式為.
由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） .
∴CQ = 3a－6，BP = a－1， .
下面分兩種情形：①當(dāng)S₁∶S₂ = 1∶3時(shí)，，
∴4a－7=2，解得；
②當(dāng)S₁∶S₂ =3∶1時(shí)，，
∴4a－7=6，解得；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為. （，0）或（，0）