Question

如圖，在矩形OABC中，OA、OC兩邊分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OC=2，過OA邊上的D點，沿著BD翻折△ABD，點A恰好落在BC邊上的點E處，反比例函數(shù)（k＞0）在第一象限上的圖象經(jīng)過點E與BD相交于點F．
（1）求證：四邊形ABED是正方形；
（2）點F是否為正方形ABED的中心？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，
∵△BED是由△ABD沿著BD翻折得到的，
∴∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，
∴四邊形ABED是正方形；

（2）F點是正方形ABED的中心．理由如下：
過F作FH⊥x軸于H，如圖，
∵四邊形ABED是正方形，
∴BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，
∴E（1，2），
∴k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=，
∵D（1，0）、B（3，2），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
把D（1，0）、B（3，2）代入得k+b=0，3k+b=2，
解得k=1，b=-1，
∴直線BD的解析式為y=x-1，
解方程組得或，
∴F點的坐標(biāo)為（2，1），
∵D（1，0）、B（3，2），
∴BD的中點坐標(biāo)為（2，1）
∴F點是正方形ABED的中心．
分析：（1）∵四邊形OABC是矩形，則BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，然后根據(jù)正方形的判定即可得到結(jié)論；
（2）過F作FH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，得到E（1，2），則反比例函數(shù)解析式為y=，利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式為y=x-1，然后解方程組得到F點的坐標(biāo)為（2，1），而BD的中點坐標(biāo)為（2，1），即可得到結(jié)論．
點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)y=上的點的橫縱坐標(biāo)之積為k；運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；運用正方形的判定與性質(zhì)解決問題；掌握翻折的性質(zhì)．