Question

如圖，在直角坐標系中，y軸是邊長為2的等邊△BAD的對稱軸，x軸是等腰△BDC的對稱軸．
（1）試求出經(jīng)過點A、點B，且對稱軸為直線x=1的拋物線的解析式；
（2）把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC'．
①問點C'是否在（1）中的拋物線上？
②設(shè)BC'交直線x=1于點Q．若點P是（1）中的拋物線上的一個動點，過點P作PT⊥直線x=1，垂足為T，問：在拋物線上是否存在著點P，使得以P、T、Q為頂點的三角形與△QDC'相似？若存在，寫出所有符合上述條件的點P的橫坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知A（-1，0）B（0，），
拋物線的對稱軸為直線x=1，則拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
將三點坐標代入y=ax²+bx+c得
，
解得，
故拋物線的解析式為；

（2）①BD==2，
∵△BCD為等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C點坐標為（0，-），
把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC′．
可求得點C′的坐標為（3，0），
代入拋物線解析式符合，
即點C'在拋物線上．
②存在．共有4個點，
它們的橫坐標分別是：-1，2，，．
分析：（1）先求出AB兩點的坐標，結(jié)合拋物線的對稱軸便可求出拋物線的解析式；
（2）①先求出C′點坐標，將C′點坐標代入拋物線的解析式，即可求得C′在拋物線上；
②仔細閱讀題意結(jié)合圖象便可發(fā)現(xiàn)存在點P使得△QDC′∽△PTQ，有四個符合條件的點P．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．