Question

已知一個面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形（如圖所示）．

當n=8時，共向外作出了

 

個小等邊三角形； 當n=k時，共向外作出了

 

個小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和是

 

（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)前三個圖形小等邊三角形的個數(shù)，推出n=8時共向外作出了18個等邊三角形，歸納總結(jié)出第k個圖形即n=k時，共向外作出的小等邊三角形的個數(shù)，然后利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求出一個小等邊三角形的面積，根據(jù)歸納出的個數(shù)即可求出所有小等邊三角形的面積之和．

解答：解：由第1個圖形可知：n=3時，共向外作出了3（3-2）個三角形；
由第2個圖形可知：n=4時，共向外作出了3（4-2）個三角形；
…
所以當n=8時，共向外作出了3（8-2）=18個三角形；
當n=k時，共向外作出了3（k-2）個三角形；
又第k個圖形中的每一個小三角形都與最大的等邊三角形相似，相似比為1：k，
所以面積比為1：k²，且最大的等邊三角形的面積為S，
則一個小等邊三角形的面積為

1

k2

S，
所以這些小等邊三角形的面積和是

3(k-2)

k2

S．
故答案為：18；3（k-2）；

3(k-2)

k2

S．

點評：此題考查學生會根據(jù)題意歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論，掌握相似三角形的判斷及性質(zhì)，是一道綜合題．