Question

（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，與軸交于點，拋物線過點、點，且與軸的另一交點為，其中＞0，又點是拋物線的對稱軸上一動點．
（1）求點的坐標，并在圖1中的上找一點，使到點與點的距離之和最小；
（2）若△周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點的坐標；
（3）如圖2，在線段上有一動點以每秒2個單位的速度從點向點移動(不與端點、重合)，過點作∥交軸于點,設移動的時間為秒，試把△的面積表示成時間的函數，當為何值時，有最大值，并求出最大值.

Answer 1

見解析解析:
（1）由題意直線AC與x軸的交點為A，
所以當y=0，則x=﹣6，
所以點A（﹣6，0）．
同理點C（0，8），
由題意，A、B是拋物線y=ax²+bx+8與x軸的交點，
∴﹣6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的兩個根，
∴﹣6+x₀=﹣，﹣6x₀=，
∴a=﹣，b=﹣+．
∵A、B點關于拋物線對稱，∴BC所在直線與對稱軸的交點即為P₀．
設直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx₀+n=0，
∴m=﹣，n=8．
∴BC的解析式為y=﹣x+8．
∴當x=﹣=時，y=+4，
∴P₀的坐標為（，+4）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，
+=10，
解得x₀=10或x₀=﹣10（不符舍去），
則點B（10，0），
由點A，B，C三點的二次函數式為y==﹣（x﹣2）²+．
頂點N（2，）；
（3）如圖，作MN⊥BC于點N，
則△OBC∽△NCM，
所以=，
即h=．
因為MH∥BC，
所以，
解得MH==，
S=MHh，
=×（8﹣2t）×，
=10t﹣，
因為每秒移動2個單位，
則當t=2時符合范圍0＜t＜4，
所以當t為2時S最大為10；