Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB=90°，OC、OB的長分別是一元二次方程x2﹣6x+8=0的兩個根，且OC＜OB．

（1）求點A的坐標；

（2）D是線段AB上的一個動點（點D不與點A，B重合），過點D的直線l與y軸平行，直線l交邊AC或邊BC于點P，設(shè)點D的橫坐標為t，線段DP的長為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)d=時，請你直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）；（2）d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為d=；

（3）當(dāng)d=時，P點坐標為（﹣，）或（3，）．

【解析】

（1）由一元二次方程可求得OC、OB的長，利用△AOC～△COB可求得OA的長，則可求得A點.

（2）由A、B、C的坐標可分別求得直線AB、AC的解析式，當(dāng)點D在線段OB上時，則點P在直線BC上，則可表示出P點坐標，從而可表示出PD的長；當(dāng)點D在線段OA上時，則點P在直線AC上，可表示出點P的坐標，從而可表示出PD的長，即可求得d關(guān)于t的函數(shù)解析式.

（3）在（2）中所求的函數(shù)關(guān)系式中分別令d＝，分別求得相應(yīng)的t的值，即可求得P點坐標．

（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，

∵OC、OB的長分別是一元二次方程x2﹣6x+8=0的兩個根，且OC＜OB，

∴OC=2，OB=4，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠CAO=∠BCO，且∠AOC=∠BOC，

∴△AOC∽△COB，

∴=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）由（1）可知C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線AC解析式為y=2x+2，

同理可求得直線BC解析式為y=﹣x+2，

當(dāng)點D在線段OA上時，即﹣1＜t≤0時，則點P在直線AC上，

∴P點坐標為（t，2t+2），

∴d=2t+2；

當(dāng)點D在線段OB上時，即0＜t＜4時，則點P在直線BC上，

∴P點坐標為（t，﹣t+2），

∴d=﹣t+2；

綜上可知d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為d=；

（3）在d=2t+2中，令d=，可得2t+2=，解得t=﹣，

∴P（﹣，）；

在d=﹣t+2中，令d=，可得﹣t+2=，解得t=3，

∴P（3，）；

綜上可知當(dāng)d=時，P點坐標為（﹣，）或（3，）．