Question

【題目】拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使∠APB=∠ABC，利用圖1求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q在y軸右側(cè)的拋物線上，利用圖2比較∠OCQ與∠OCA的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），

∴可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）

解：∵OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，

∴∠PBA= =67.5°，∠DPB= ∠APB=22.5°，

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，

∴∠DPB=∠DBP，

∴DP=DB，

在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2 ，

∴PE=2+2 ，

∴P（1，2+2 ）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由對(duì)稱性可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2﹣2 ）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2+2 ）或（1，﹣2﹣2 ）；

（3）

解：設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，如圖2，過(guò)Q作QF⊥y軸于點(diǎn)F，

當(dāng)∠OCA=∠OCQ時(shí)，則△QEC∽△AOC，

∴ = = ，即 = ，解得x=0（舍去）或x=5，

∴當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為5時(shí)，∠OCA=∠OCQ；

當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)大于5時(shí)，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；

當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)小于5且大于0時(shí)，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．

【解析】（1）由拋物線解析式可求得B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；（2）由直線BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，則可求得PE的長(zhǎng)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當(dāng)∠OCQ=∠OCA時(shí)，利用兩角的正切值相等可得到關(guān)于x的方程，可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合圖形可比較兩角的大小．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．