Question

如圖，正三角形ABC的中心O恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形內，要使扇形ODE繞點O無論怎樣轉動，△ABC與扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角應為多少度？說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：因為重疊部分總等于三角形面積的，可以先從三角形考慮，O為中心也就是與正三角形的中心角重合，所以應為120°，證明是要分兩種情況：即特殊和一般，特殊情況時就是猜想所用的情況，顯然成立，一般情況的證明從三角形全等把四邊形的面積分解成兩個三角形，最后再歸到正三角形的中心角為120°的三角形．
解答：解：當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的．
證明如下：
（1）當扇形的圓心角與正三角形的中心角重合時：
顯然，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC的面積的；
（2）當扇形的圓心角與正三角形的中心角不重合時：
如圖，連接OA、OB，設OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，
∠AOB=×360°=120°（等邊三角形的中心角等于），
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中，
∴△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四邊形OFBG}=S_△AOB=S_△ABC，
即△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的，
同理可證，當扇形ODE旋轉至其他位置時，結論仍成立．
由（1）、（2）可知，當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；猜想時從三角形考慮是解答本題的突破點，證明時一般情況的證明容易被學生忽視．