Question

如圖，已知△ABC和△ABD均為等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，點(diǎn)P為邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合），作PE⊥PB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEP=∠ABP．
（2）猜想線段PB、PE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）若P為AC延長線上任意一點(diǎn)（如圖②），PE交DA的延長線于點(diǎn)E，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得∠EPB=∠BAD=90°，再由∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，∠1=∠2可得∠AEP=∠ABP；
（2）過P作PM⊥AC交AB與M，證明△APE≌△MPB可得PB=PE；
（3）過P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥DA交DA延長線于點(diǎn)N，證明△PBM≌△PEN，可得PB=PE．

解答：證明：（1）∵PE⊥PB，
∴∠EPB=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEP=∠ABP；

（2）PB=PE，
如圖3，過P作PM⊥AC交AB與M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠PAM=∠AMP=45°，
∴PA=PM，
∵∠PAE=45°+90°=135°，∠PMB=180°-45°=135°，
∴∠PAE=∠PMB，
在△AEP和△MBP中

∠PAE=∠PMB ∠AEP=∠ABP AP=PM

，
∴△APE≌△MPB（AAS），
∴PB=PE；

（3）成立；
如圖4，過P作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥DA交DA延長線于點(diǎn)N，
∵∠PAB=∠PAN=45°，
∴PM=PN，
∵∠3+∠MPE=∠4+∠MPE=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠PMB=∠N=90°，
在△PBM和△PEN中

∠3=∠4 PM=PN ∠PMB=∠N

，
∴△PBM≌△PEN（ASA），
∴PB=PE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理．