Question

如圖，拋物線y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若直線l過點(diǎn)E（4，0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B點(diǎn)為拋物線與x軸交點(diǎn)，令y=0，解一元二次方程即可．
（2）根據(jù)題意求出△ACD中AC邊上的高，設(shè)為h．在坐標(biāo)平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據(jù)等底等高面積相等，可知平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn)．
從一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)．
注意：這樣的平行線有兩條，如答圖1所示．
（3）本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”的含義．
因?yàn)檫^A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個(gè)直角三角形；第三個(gè)直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮，以AB為直徑作圓，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．從而問題得解．
注意：這樣的切線有兩條，如答圖2所示．
解答：解：（1）令y=0，即=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-4，0）、B（2，0）．

（2）拋物線y=的對稱軸是直線x=-=-1，
即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，
S_△ACB=AB•OC=9，
在Rt△AOC中，AC===5，
設(shè)△ACD中AC邊上的高為h，則有AC•h=9，解得h=．
如答圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是l₁和l₂，則直線與對稱軸x=-1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D．
設(shè)l₁交y軸于E，過C作CF⊥l₁于F，則CF=h=，
∴CE==．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-4，0），C（0，3）坐標(biāo)代入，
得到，解得，
∴直線AC解析式為y=x+3．
直線l₁可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個(gè)長度單位）而形成的，
∴直線l₁的解析式為y=x+3-=x-．
則D₁的縱坐標(biāo)為×（-1）-=，∴D₁（-1，）．
同理，直線AC向上平移個(gè)長度單位得到l₂，可求得D₂（-1，）
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D₁（-1，），D₂（-1，）．

（3）如答圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點(diǎn)作⊙F的切線，這樣的切線有2條．
連接FM，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴F（-1，0），⊙F半徑FM=FB=3．
又FE=5，則在Rt△MEF中，
ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×=，
FN=MF•cos∠MFE=3×=，則ON=，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
直線l過M（，），E（4，0），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則有
，解得，
所以直線l的解析式為y=x+3．
同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x-3．
綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x-3．
點(diǎn)評：本題解題關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識的綜合運(yùn)用．難點(diǎn)在于第（3）問中對于“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”條件的理解，這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決．本題難度較大，需要同學(xué)們對所學(xué)知識融會貫通、靈活運(yùn)用．