Question

（2013•上海模擬）數(shù)學課上，張老師出示圖1和下面框中條件：

請你和艾思軻同學一起嘗試探究下列問題：
（1）①當點C與點F重合時，如圖2所示，可得

AM

DM

的值為

1

；
②在平移過程中，

AM

DM

的值為

x

2

（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）艾思軻同學將圖2中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變．
當點A落在線段DF上時，如圖3所示，請你幫他補全圖形，并計算

AM

DM

的值；
（3）艾思軻同學又將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉m度，0＜m≤90，原題中的其他條件保持不變．請你計算

AM

DM

的值（用含x的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)等腰之間三角形的性質可以得出∠DFA=90°，由旋轉可以得出∠DEM=∠BEM=45°，由等腰三角形的性質可以得出EM垂直于DC平分DC，就可以得出EM∥AC，由相似三角形的性質可以得出結論；
②根據(jù)條件可以得出∠MEF=∠ACF，就有EM∥AC，根據(jù)△GCF∽△HEF由其性質就可以表示出CG，由∠MEF=∠GFE=45°，就有CG=GF，表示出GF，就可以得出DG，求DH，根據(jù)平行線分線段成比例定理就可以得出結論；
（2）連結AE，補全圖形如圖3所示．由條件可以得出AC=

2

，DF=2

2

，由條件得出△MAE∽△BFE就可以求出AM的值，進而可以求出DM的值，從而求出結論；
（3）如圖4，過點B作BE的垂線交直線EM于點G，連結AG．根據(jù)條件可以得出△ABG≌△CBE，由其性質可以得出∠AGM=∠DEM，就有AG∥DE，就可以得出結論．

解答：解：（1）①如圖2∵△DEF和△ABC是等腰直角三角形，
∴DE=FE，AB=BC，∠EDF=∠DFE=∠ACB=∠BAC=45°．∠DEF=∠ABC=90°．
∵∠BEM=45°，
∴∠BEM=∠ACB，∠DEM=45°
∴EM∥AC，∠DEM=∠FEM，
∴

PF

PD

=

AM

DM

．
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DP=FP，
∴

FP

DP

=1，
∴

AM

DM

=1．
②如圖1，在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DF=2

2

，
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DH=FH=EH=

2

．
∵CE=x，
∴FC=2-x．
∵CG∥EM，
∴

CF

EF

=

CG

EH

，

HG

HD

=

AM

DM

．
∴

2-x

2

=

CG

2

，
∴CG=

2

-

2

2

x．
∵∠ACB=∠DFE，
∴CG=FG，
∴FG═

2

-

2

2

x．
∴HG=

2

-（

2

-

2

2

x）=

2

2

x，
∴

HG

DH

=

2 2 x

2

=

x

2

，
∴

AM

DM

=

x

2

．


（2）連結AE，補全圖形如圖3所示．
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴AC=

2

，DF=2

2

，∠EFB=90°．
∴AD=DF-AC=

2

，
∴點A為DF的中點．
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=

2

．
∵∠MEB=∠AEF=45°，
∴∠MEA=∠BEF．
∴△MAE∽△BFE．
∴

AM

BF

=

AE

EF

，
∴AM=

2

2

．
∴DM=AD-AM=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

AM

DM

=1．


（3）如圖4，過點B作BE的垂線交直線EM于點G，連結AG．
∵∠EBG=90°，∠BEM=45°，
∴∠BGE=45°．
∴BE=BG．
∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABG=∠CBE．
∵BA=BC，∴△ABG≌△CBE．
∴AG=CE=x，∠AGB=∠CEB．
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE．
∴

AM

DM

=

AG

DE

=

x

2

．
故答案為：1；

x

2

．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時靈活運用等腰直角三角形的性質證明三角形相似和全等是解答本題的關鍵．