【題目】已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)證明ABDF是平行四邊形;
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題(1)先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD,從而得到∠ADF=∠BAD,所以AB∥FD,因為BD⊥AC,AF⊥AC,所以AF∥BD,即可證得.
(2)先證得平行四邊形是菱形,然后根據(jù)勾股定理即可求得.
試題解析:(1)證明:∵BD垂直平分AC,
∴AB=BC,AD=DC,
在△ADB與△CDB中,
,
∴△ADB≌△CDB(SSS)
∴∠BCD=∠BAD,
∵∠BCD=∠ADF,
∴∠BAD=∠ADF,
∴AB∥FD,
∵BD⊥AC,AF⊥AC,
∴AF∥BD,
∴四邊形ABDF是平行四邊形,
(2)解:∵四邊形ABDF是平行四邊形,AF=DF=5,
∴ABDF是菱形,
∴AB=BD=5,
∵AD=6,
設(shè)BE=x,則DE=5-x,
∴AB2-BE2=AD2-DE2,
即52-x2=62-(5-x)2
解得:x=,
∴,
∴AC=2AE=.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,切線DE交AC于點E.
(1)求證:∠A=∠ADE;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,cosA=,點D是斜邊AB上的動點且不與A,B重合,連接CD,點B'與點B關(guān)于直線CD對稱,連接B'D,當(dāng)B'D垂直于Rt△ABC的直角邊時,BD的長為______.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標(biāo)為(1,0),點D的坐標(biāo)為(0,2),延長CB交x軸于點A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2,作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第1個正方形的面積為___;第4個正方形的面積為___.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,已知AC=2,AB=5.
(1)求BD的長;
(2)點E為直線AD上的一個動點,連接CE,將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF(即∠ECF=∠BCD),EF交CD于點P.
①當(dāng)E為AD的中點時,求EF的長;
②連接AF、DF,當(dāng)DF的長度最小時,求△ACF的面積.
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【題目】方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上,點C的坐標(biāo)為(4,﹣1).
(1)試作出△ABC以C為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A1B1C;
(2)以原點O為對稱中心,再畫出與△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2,并寫出點C2的坐標(biāo).
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【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外.如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到A港口正西方的B處時,發(fā)現(xiàn)在B的北偏東60°方向,相距150海里處的C點有一可疑船只正沿CA方向行駛,C點在A港口的北偏東30°方向上,海監(jiān)船向A港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從A港口沿AC方向駛出,在D處成功攔截可疑船只,此時D點與B點的距離為75海里.
(1)求B點到直線CA的距離;
(2)執(zhí)法船從A到D航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
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【題目】某超市銷售一種文具,進(jìn)價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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【題目】甲乙兩人從A地出發(fā)去相距1800米的B地,甲出發(fā)1.5分鐘后乙再出發(fā),在中途乙追上甲,追上甲后,乙發(fā)現(xiàn)有東西忘帶了,于是以原來1.2倍的速度返回,甲則繼續(xù)以原速度前行,乙返回A地后取東西花了2分鐘,取完東西后立即以返回時的速度追甲,甲達(dá)到B地以后立即返回,并與乙在途中相遇,設(shè)甲乙兩人之間的距離為y(米),甲出發(fā)的時間為x(分鐘),y與x的關(guān)系如圖所示,則當(dāng)甲乙兩人第二次相遇時,兩人距B地的距離為_____米.
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