Question

如圖，圓B切y軸于原點O，過定點A（-2

3

，0）作圓B的切線交圓于點P，已知tan∠PAB=

3

3

，拋物線C經過A，P兩點．
（1）求圓B的半徑．
（2）若拋物線C經過點B，求其解析式．
（3）設拋物線C交y軸于點M，若三角形APM為直角三角形，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為AP是⊙B的切線，所以連接PB可構造出直角三角形，利用直角三角形的性質及特殊角的三角函數(shù)值即可求出圓B的半徑．
（2）根據⊙B的半徑可求出B點坐標，利用勾股定理或切割線定理可求出AP的距離，根據AP、BP的長可求出P點坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式．
（3）求出P點坐標和A點坐標，設出M點坐標為（0，t），根據勾股定理及其逆定理解答．

解答：解：
（1）連接PB，則PB⊥AP，設PB=r，
∵tan∠PAB=

3

3

，
∴∠PAB=30°，
故r=

1

2

（OA+OB）=

1

2

（2

3

+r），
解得r=2

3

．

（2）如P在第一象限，OP與x軸的夾角=2∠PAB=60°
則：P點坐標（2

3

cos60°，2

3

sin60°），
即（

3

，3）
B、A關于y軸對稱，所以拋物線頂點必在y軸上，
設為（0，m）
拋物線解析式：y-m=kx²
將（

3

，3），（2

3

，0），代入，
得：3-m=3k，-m=12k，m=4，k=-

1

3

拋物線解析式：y=-

1

3

x²+4
若P點在四象限，則：P點坐標（

3

，-3）
則拋物線解析式：y=-

1

3

x²-4

（3）由于P點坐標為（

3

，3），A點坐標為（-2

3

，0），M點坐標為（0，t）．
根據勾股定理，①PA²=PM²+AM²，36=t²-6t+12+12+t²，
解得t=

3± 33

2

；
②PM²=PA²+AM²，t²-6t+12=36+12+t²，解得t=-6；
③AM²=PA²+PM²，12+t²=36+t²-6t+12，解得t=6．
于是M點坐標為（0，-6），（0，6），（0，

3+ 33

2

），（0，

3- 33

2

）．

點評：此題將圓、拋物線、直線結合起來，考查了對知識的綜合運用能力．特別是解（3）時，要應用勾股定理進行分類討論．