(2012•株洲)如圖,一次函數(shù)y=-
12
x+2
分別交y軸、x軸于A、B兩點,拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當(dāng)t取何值時,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情況下,以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,求第四個頂點D的坐標(biāo).
分析:(1)首先求得A、B點的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)本問要點是求得線段MN的表達(dá)式,這個表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值;
(3)本問要點是明確D點的可能位置有三種情形,如答圖2所示,不要遺漏.其中D1、D2在y軸上,利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo);D3點在第一象限,是直線D1N和D2M的交點,利用直線解析式求得交點坐標(biāo).
解答:解:(1)∵y=-
1
2
x+2
分別交y軸、x軸于A、B兩點,
∴A、B點的坐標(biāo)為:A(0,2),B(4,0)…(1分)
將x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…(2分)
將x=4,y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2,解得b=
7
2

∴拋物線解析式為:y=-x2+
7
2
x+2…(3分)

(2)如答圖1,設(shè)MN交x軸于點E,
則E(t,0),BE=4-t.
∵tan∠ABO=
OA
OB
=
2
4
=
1
2
,
∴ME=BE•tan∠ABO=(4-t)×
1
2
=2-
1
2
t.
又N點在拋物線上,且xN=t,∴yN=-t2+
7
2
t+2,
∴MN=yN-ME=-t2+
7
2
t+2-(2-
1
2
t)=-t2+4t…(5分)
∴當(dāng)t=2時,MN有最大值4…(6分)

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,D點的可能位置有三種情形,如答圖2所示.…(7分)
(i)當(dāng)D在y軸上時,設(shè)D的坐標(biāo)為(0,a)
由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,
從而D為(0,6)或D(0,-2)…(8分)
(ii)當(dāng)D不在y軸上時,由圖可知D3為D1N與D2M的交點,
易得D1N的方程為y=-
1
2
x+6,D2M的方程為y=
3
2
x-2,
由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)…(9分)
故所求的D點坐標(biāo)為(0,6),(0,-2)或(4,4)…(10分)
點評:本題是二次函數(shù)綜合題,考查了拋物線上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的極值、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形等重要知識點.難點在于第(3)問,點D的可能位置有三種情形,解題時容易遺漏而導(dǎo)致失分.作為中考壓軸題,本題有一定的難度,解題時比較容易下手,區(qū)分度稍低.
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2
x
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x
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