Question

如圖，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，直線y=x+b（b＞0）與⊙O交于A、B兩點，點O關(guān)于直線y=x+b的對稱點O′，
（1）求證：四邊形OAO′B是菱形；
（2）當點O′落在⊙O上時，求b的值．

Answer 1

（1）證明：連接OO′，
∵點O關(guān)于直線y=x+b的對稱，
∴直線y=x+b是線段OO′的垂直平分線，
∴AO=AO′，BO=BO′，
又∵OA，OB是⊙O的半徑，
∴OA=OB，
∴AO=AO′=BO=BO′，
∴四邊形OAO′B是菱形．

（2）如圖，菱形OAO'B的對角線交點為點M，
當點O′落在圓上時，
∵OM=

1

2

OO′=1，
∵設(shè)直線y=x+b與x軸、y軸的交點坐標分別是N（-b，0），P（0，b），
∴△ONP為等腰直角三角形，
∴∠ONP=45°，
∵四邊形OAO′B是菱形，
∴OM⊥PN，
∵∠ONP=45°=∠OPN，
∴OM=PM=MN=1，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OP=

2

，
即b=

2

．